Как сделать цифру 4 русский язык


Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык


формулы Pn, Anm, Cnm


Чтобы научиться быстро бегать, нужно много бегать. Чтобы научиться хорошо решать сложные задачи, нужно решать много простых задач. И то, и другое надо делать с умом. Последовательно тренировать определенные группы мышц, и постепенно вникать в смысл математических выражений.

Давайте рассмотрим несколько очень простых задач, сравнивая их между собой. Сравнение поможет нам понять и запомнить, как выбрать нужную формулу для подсчёта числа вариантов в той или иной ситуации. А чтобы никто не усомнился в том, что задачи действительно простые, я взяла за основу Сборник тестовых заданий к учебнику Н.Я. Виленкина и др. "Математика. 5 класс". Конечно, для пятиклассников это задания высокого уровня сложности "С", но они справляются. Дело в том, что эти задачи можно решить как простым перебором вариантов, тем быстрее, чем выше уровень обобщения, так и по формулам комбинаторики. Старшеклассникам рекомендую повторить , если вы попали на эту страницу из поисковика, миновав теорию.

Итак,
- внимательно читаем условия 2-ух задач из одной строки таблицы;
- решаем обе задачи любыми доступными способами (желательно не одним);
- открываем ответы нажатием на зеленые кнопки и сравниваем их со своими ответами;
- открываем решения и комментарии к ним нажатием на желтые кнопки.

Помните, что ваше решение не обязательно должно совпадать с моим, достаточно, чтобы оно было логичным и позволяло получить верный ответ.

Задачи и решения.

Задача 1a Задача 1b При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов? При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей? Ответ: 30 Ответ: 15 Решение.

Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
6·5 = 30 карточек.

Решение.

В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле
С62 = 6!/2!/(6 - 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.

Задача 2a Задача 2b В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать? В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 36 Ответ: 72 Решение.

Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
С92 = 9!/2!/(9 - 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.

Решение.

Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек - 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)

Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
А92 = 9!/(9 - 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.

Задача 3a Задача 3b Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях? В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует? Ответ: 720 Ответ: 120 Решение.

Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.

Решение.

Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков ("готовите стулья") и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов ("рассаживаете гостей"). Число перестановок из 5 определяем по формуле
P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Задача 4a Задача 4b Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно? Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали? Ответ: 10 Ответ: 720 Решение.

В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования - сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
С52 = 5!/2!/(5 - 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.

Решение.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования - размещения. Число размещений определяем по формуле
А103 = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

Задача 5a Задача 5b В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить? Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить? Ответ: 48 Ответ: 20 Решение.

Выбираем три блюда: первое, И второе, И третье. Едим каждое блюдо отдельно (независимо друг от друга). Следовательно, можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Из 2-ух первых блюд одно можно выбрать 2-мя способами, из 6-ти вторых одно можно выбрать 6-тью способами, из 4-ёх третьих одно - 4-мя способами.
2·6·4 = 48.

Решение.

Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
С63 = 6!/3!/(6 - 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.

Задача 6a Задача 6b В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки? В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки? Ответ: 28 Ответ: 84 Решение.

Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми - 7-ю способами. Применяем правило умножения
4·7 = 28.

Решение.

Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми - ? способами.
Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
С72 = 7!/2!/(7 - 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
Теперь применяем правило умножения
4·21 = 84.

Задача 7a Задача 7b На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета? Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует? Ответ: 5040 Ответ: 10000 Решение.

Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.

Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.

Решение.

На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
10·10·10·10 = 10000.

Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел "Выборки с повторениями" (). В данном случае нам нужна формула для размещений. Число размещений с повторениями определяется как nk, где n - количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k - объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
104 = 10000.

Задача 8a Задача 8b Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются). Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7? (Цифры могут повторяться). Ответ: 6 Ответ: 27 Решение.

Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
P3 = 3! = 1·2·3 = 6.

Решение.

Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков - 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц - 3-мя способами. Общее число вариантов
3·3·3 = 27.

Задача 9a Задача 9b Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3? Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются). Ответ: 8 Ответ: 6 Решение.

Трёхзначное число из двух цифр неизбежно будет содержать повторения, поэтому можно воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями, как в задаче 7b. Здесь количество элементов для выбора n = 2 цифры, количество возможных повторов одного элемента k = 3 раза, цифра в трёхзначном числе может повториться трижды, например, 777. Таким образом, искомое число вариантов
23 = 8.

Но можно и проще, так как эта задача полностью аналогична задаче 8b. Также используем И-правило, выбирая одну из 2-ух цифр независимо для каждой из трёх позиций,
2·2·2 = 8.

В свою очередь, в задаче 8b можно было воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями: 33 = 27. Дело в том, что формула как раз выводится с применением И-правила и теми же рассуждениями, какие описаны в решении этих задач.

Решение.

Классический случай размещений: выбираем из 3-ёх элементов без повторов и размещаем на 2-ух позициях - в разряд десятков и в разряд единиц. Число размещений определяем по формуле
А32 = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Задача 10a Задача 10b Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться). Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 7, 6, 5, 0, если цифры в записи числа не могут повторяться? Ответ: 6 Ответ: 18 Решение.

Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях - десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
А32 = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Решение.

Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
А43 = 4!/(4 - 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, - двузначные числа.
Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
А32 = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
24 - 6 = 18.

Задача 11a Задача 11b Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться). Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа могут повторяться). Ответ: 12 Ответ: 32 Решение.

Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
А32 = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Также получается, если число оканчивается 6-кой: А32 = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 = 12.

Решение.

Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
Всего 16 + 16 = 32.

Задача 12a Сколько различных дробей можно составить с использованием цифр 2, 3, 4? (В числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра.) Ответ: 18 Решение.

Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
Далее заметим, что текст "с использованием цифр" может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай - с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4. Таким образом, возможны такие виды дробей / ИЛИ / ИЛИ /, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
Случай / определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
А32 = 3!/(3 - 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Случай / определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
Случай / аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P3 = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.
Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?


Комментарии.

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __, /, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.
вычисление числа сочетанийO формуле для числа размещений.
Формулу для числа размещений иногда записывают дробью с факториалами, а иногда строкой - группой сомножителей. Разумеется, оба варианта переходят друг в друга в результате преобразований. На мой взгляд, обе формулы хорошо запоминаются, первая - потому, что компактнее, вторая - потому, что хорошо произносится: "начинаем с n и записываем m сомножителей".
формулы для числа размещенийВыборки с повторениями.
В школьном курсе основное внимание уделяется классическим типам выборок. В комбинаторике также выведены формулы для выборок с повторениями, но в них нет необходимости для решения задач вашего уровня трудности. Достаточно просто разумных соображений и знания основных формул и правил. Привожу здесь формулы для выборок с повторениями только для того, чтобы вы знали о их существовании и при желании могли использовать для проверки своих ответов.
выборки с повторениями
Здесь для сочетаний и размещений k - объем выборки, n - количество элементов множества, из которого выбираем.
Для перестановок n - количество переставляемых элементов, n1, n2, ... nk - число повторений. Например, в слове "темперамент" 11 букв (n = 11), буква "т" повторяется дважды (n1 = 2), буква "е" - трижды (n2 = 3) и буква "м" - дважды (n3 = 2). Число возможных перестановок букв в этом слове 11!/2!/3!/2!
   Перейти сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
 

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.


Источник: http://www.mathematichka.ru/school/combinatorics/combination_problems.html


Как сделать цифру 4 русский язык фото


Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Как сделать цифру 4 русский язык

Далее: